Rangkuman Materi Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear SMA Kelas 10

Marikuliah.com - Halo sobat pintar! Pada artikel ini kami akan memberikan rangkuman materi MTK SMA Kelas 10 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear kurikulum merdeka.

Materi ini dipelajari oleh siswa kelas 10 pada mata pelajaran MTK kurikulum merdeka atau kurikulum 2021.

Sebelum kamu menyelami lebih lanjut rangkuman materi Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear, ada baiknya kamu terlebih dahulu memperhatikan peta konsep berikut ini:

peta konsep persamaan dan pertidaksamaan

Rangkuman Materi Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Model matematika tersebut terdiri atas dua persamaan dengan dua variabel. Semua variabelnya berpangkat satu, artinya kedua persamaan di atas adalah persamaan linear.

Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah gabungan beberapa persamaan linear. Penyelesaiannya adalah nilai yang memenuhi semua persamaan linear.

1. Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear yang setiap persamaannya memiliki dua variabel adalah sistem persamaan linear dua variabel. Contoh SPLDV dengan variabel x dan y:

$\begin{cases}ax+by=c \\ px-qy=r \end{cases}$

Keterangan: a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan-bilangan real.

Contoh soal:

Tentukah penyelesaian dari SPLDV berikut:

$\begin{cases} -x +y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end{cases}$

Penyelesaian:

Langkah 1

Pertama menentukan penyelesaian dari variabel x.

Mengeliminasi variabel y dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan I dengan persamaan II.

Diperoleh persamaan akhir -2x = -4, bagi kedua ruas dengan -2, diperoleh penyelesaian x=2.

Langkah 2

Kedua menentukan penyelesaian dari variabel x

Mengeliminasi variabel x dapat dilakukan dengan menjumlahkan persamaan I dengan persamaan II.

Diperoleh persamaan akhir 2y=6, bagi kedua ruas dengan 2, diperoleh penyelesaian y=3

Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah (2, 3).

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear 3 variable adalah persamaan yang terdiri dari 3 persamaan dan memiliki 3 variable pada setiap persamaannya:

$\begin{cases} a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1=d_1 \\ a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2=d_2 \\ a_3x_3+b_3y_3+c_3z_3=d_3 \end{cases}$

Keterangan: dimana a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan real.

Contoh soal:

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

$\begin{cases} x-2y+z=6 \cdots (I) \\ 3x+y-2z=4 \cdots (II) \\ 7x-6y-z=10 \cdots (III) \end{cases}$ .

Penyelesaian:

Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dari x, yaitu: $x-2y+z=6 \Rightarrow x=6+2y-z$

Kemudian subtitusikan pada persamaan (II) dan (III), menjadi

Persamaan (II): $3(6+2y-z)+y-2z=4$

Selesaikan, didapat: $7y-5z=-14 \cdots (IV)$

Persamaan (III): $7(6+2y-z)-6y-z=10$

Selesaikan, didapat: 8y-8z=-32 atau $y-z=-4 \cdots (V)$ .

Persamaan (IV) dan (V) membentuk SPLDV

Dari persamaan (V), $y-z=-4 \Leftrightarrow y=z-4$ , kemudian disubtitusikan pada persamaan (IV), menjadi:

$7(z-4)-5z=-14$

$7z-28-5z=-14$

$2z=14 \newline \newline z=7$

Kemudian subtitusikan y=7 pada persamaan y=z-4 diperolehy=7-4 atau y=3.

Subtitusikan z=7 dan z=3 pada persamaan x=6+2y-z, menjadi x=6+2(3)-7, diperoleh x=5.

Sehingga himpunan penyelesaian adalah {3, 5, 7\}

Sistem Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan merupakan suatu bentuk/kalimat matematis yang memuat tanda lebih dari “ > “, kurang dari “ < “, lebih dari atau sama dengan “ ≥ “, dan kurang dari atau sama dengan “ ≤ “.

Linear dapat diartikan sebagai suatu bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu.

1. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

ax + b > c

ax + b < c

ax + b ≥ c

ax + b ≤ c

Catatan:

a : koefisien variabel x
x : variabel
b, c : konstanta
<, >, ≤, ≥ : tanda pertidaksamaan

2. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

ax + by > c

ax + by < c

ax + by ≥ c

ax + by ≤ c